从行星运行轨道到引力弹弓，你看懂流浪地球了吗？

　　在《流浪地球2》描绘的“流浪地球计划”中，一个关键的节点是借助木星来让地球加速到足以离开太阳系。1月27日，《张朝阳的物理课》第一百一十八期开播，为广大网友带来了一节别开生面的物理课。课上张朝阳回顾了上一次直播课中关于洛希极限的讨论，并指出在地月系统靠近的过程中，地球强大的引力作用会显著改变月球的几何形状，从而不能再把月球看作刚体球，而应当讨论作为流体的月球和对应的洛希极限，月球实际解体的位置会比刚体模型的情况更远。随后他通过角动量守恒定理和能量守恒定律，化简了行星运动的轨道方程，并得到了方程的解。最后他讲解了引力弹弓的物理原理，并讨论了通过引力弹弓来加速的条件。

　　引力弹弓的应用实例：旅行者号

　　引力弹弓并非是科幻电影中的奇妙畅想，事实上这是一项早已实现，而且在航天事业中相当重要的技术。早在20世纪初期，就有苏联科学家提出，对于行星间的航行，可以利用行星卫星的万有引力来实现对航天器的速度控制。到了1959年，苏联航天器月球三号首次应用了这项技术。而最为知名的，当属1977年美国航空航天局(NASA)的旅行者计划。当时在美国航空航天局喷气推进实验室(NASA，JPL)工作的Gary Flandro发现了太阳系几个气体巨行星(木星、土星、天王星和海王星)的罕见排列，这一发现极大地推进了旅行者号的任务进程。在该任务中，共有两架航天器旅行者1号和旅行者2号被送出了地球，通过精心设计的轨道，它们造访了太阳系中的四颗气体巨行星，并借用引力弹弓加速来摆脱太阳的引力束缚，前往神秘的星际空间。直到今天，在旅行者们发射后的45年后，它们已经离开了太阳系，但仍然保留着部分机能。旅行者1号仍是人类第一个离开太阳系的飞行器，在距离太阳150.02天文单位的地方，它是距离地球最遥远的人造物体，向着蛇夫座方向前进。

　　在每架旅行者飞船上，都携带着一张铜质磁碟唱片，包含了55种人类语言录制的问候语和音乐，试图向可能的“外星人”传达来自人类的友好问候。唱片也记载着地球自然界的声音，能够代表人类当时知识水平、技术信息和人类的形象。当时的人们把自己文明的代表刻印其上，让旅行者们带往太阳系以外的地方。也许在未来，人类文明消失于地球，这些唱片仍默默记录着人类在这个宇宙留下的痕迹。

　　行星的圆轨道运动

　　可能会有人对引力弹弓过程感到困惑不解：明明双曲线运动有着能量守恒的要求，入射和出射速度大小总是一样的，为什么可以用来加速呢？其中的奥妙正在于目标行星自身的速度。在行星参考系中探测器，如旅行者1号，受行星引力做双曲线运动，而在太阳参考系中，其离开行星的速度和接近行星的速度完全可以不一样。而且这个过程也并未违反能量守恒定律：行星自身的机械能是加速的来源，只是因为二者质量差距过于悬殊，提取出的能量相对行星自身是很小的。

　　张朝阳选择旅行者1号在借助木星引力加速的过程来分析引力弹弓效应。在太阳参考系中，令旅行者1号在该过程的初始速度为v1，木星自身速度为vp，完成引力弹弓效应后旅行者1号的速度为v2。那么在木星的平动参考系中：由于过程发生的时间相比木星做圆周运动的时间是很短的，且由于极悬殊的质量差距，我们可以近似认为木星在整个过程里做匀速直线运动。

　　实际航天计划里，通过合理选择β为一个较小的角度，通过|v2'-v1'|得到了一个较大的贡献。这样能够令航天器获取到相当大的速度提升，进而实现一个高效的加速过程。在实际的旅行者1号计划里边，分析NASA的数据可以得到α=113.66°,β=40.89°，木星速度大小为|vp| ≈ 13 km/s，旅行者1号的入射速度大小为|v1| ≈ 13.2 km/s，相对速度大小近似为|v1'| ≈ 11 km/s，有兴趣的读者可以使用今天的知识来推测旅行者1号离开木星时候的速度。这里给出NASA提供的官方数据，其值接近于|v2| ≈ 23.6 km/s。计算结果可能略高于这个数值，原因在于以上计算忽略了克服太阳引力的损失和速度数据并未取在无穷远而导致能量偏大。

　　(图中横轴为到太阳的距离，纵轴代表速度。蓝线为旅行者1号相对太阳的速度大小和同太阳的距离之间的关系，红线则为对应距离下对太阳的逃逸速度。可以看到旅行者1号在5个天文单位和10个天文单位附近分别借助了木星与土星的引力弹弓来加速。)